机器学习必修之数学基础系列课程

课时3重点：线性变换，线性子空间，正交概念，矩阵的秩和逆，矩阵的条件数

基础概念：

秩：在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

奇异矩阵：秩不为满秩的矩阵。

对于条件数的补充：

κ(A)=‖A‖‖A−1‖
κ(A)=‖A‖‖A−1‖
如果方阵 A 是奇异的，那么 A 的 condition number 就是正无穷大了。实际上，每一个可逆方阵都存在一个 condition number。

对condition number来个一句话总结：condition number 是一个矩阵（或者它所描述的线性系统）的稳定性或者敏感度的度量，如果一个矩阵的 condition number 在1附近，那么它就是well-conditioned的，如果远大于1，那么它就是 ill-conditioned 的，如果一个系统是 ill-conditioned 的，它的输出结果就不要太相信了。

应用
ŵ =(XTX)−1XTb
w^=(XTX)−1XTb
如果当我们的样本 X 的数目比每个样本的维度还要小的时候，矩阵XTXXTX将会不是满秩的，也就是XTXXTX会变得不可逆，所以ŵ w^就没办法直接计算出来了。

如果加上L2规则项，就变成了下面这种情况，就可以直接求逆了：

ŵ =(XTX+λI)−1XTb
 

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转自https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/51372831 

线性空间：

线性变换：

非线性变换：

1. 符号表示

R:实数

C:复数

2. 內积

內积：•[R^ n ；(a，b)= a ^T b ] ,

3. 线性变换

线性变换一定有矩阵表示的变换矩阵。

Y=AX

4. 行列式是针对方阵的。