机器学习必修之数学基础系列课程

本节课主要讲了奇异值分解（svd），以及其在PCA（主成分分析）中的应用。

1.奇异值分解：

奇异值分解是一个能适用于任意矩阵的一种分解的方法，对于任意矩阵A总是存在一个奇异值分解：

假设A是一个m*n的矩阵，那么得到的U是一个m*m的方阵，U里面的正交向量被称为左奇异向量。Σ是一个m*n的矩阵，Σ除了对角线其它元素都为0，对角线上的元素称为奇异值。是v的转置矩阵，是一个n*n的矩阵，它里面的正交向量被称为右奇异值向量。而且一般来讲，我们会将Σ上的值按从大到小的顺序排列。
 

2.PCA

在之前课程我们学习过特征值分解，其实PCA可以通过两种方式来实现，一种是基于特征值分解，一种是基于svd分解。两种的方法如下：

1）基于特征值分解：

对于矩阵A，有一组特征向量v，将这组向量进行正交化单位化，就能得到一组正交单位向量。特征值分解，就是将矩阵A分解为如下式：

其中，Q是矩阵A的特征向量组成的矩阵，则是一个对角阵，对角线上的元素就是特征值。

具体实现方法：
 

输入：数据集，需要降到k维。
1) 去平均值(即去中心化)，即每一位特征减去各自的平均值。、

2) 计算协方差矩阵,注：这里除或不除样本数量n或n-1,其实对求出的特征向量没有影响。

3) 用特征值分解方法求协方差矩阵的特征值与特征向量。

4) 对特征值从大到小排序，选择其中最大的k个。然后将其对应的k个特征向量分别作为行向量组成特征向量矩阵P。

5) 将数据转换到k个特征向量构建的新空间中，即Y=PX。
 

2）基于奇异值分解：

奇异值分解是一个能适用于任意矩阵的一种分解的方法，对于任意矩阵A总是存在一个奇异值分解：

假设A是一个m*n的矩阵，那么得到的U是一个m*m的方阵，U里面的正交向量被称为左奇异向量。Σ是一个m*n的矩阵，Σ除了对角线其它元素都为0，对角线上的元素称为奇异值。是v的转置矩阵，是一个n*n的矩阵，它里面的正交向量被称为右奇异值向量。而且一般来讲，我们会将Σ上的值按从大到小的顺序排列。

具体实现方法：

输入：数据集，需要降到k维。

1) 去平均值，即每一位特征减去各自的平均值。

2) 计算协方差矩阵。

3) 通过SVD计算协方差矩阵的特征值与特征向量。

4) 对特征值从大到小排序，选择其中最大的k个。然后将其对应的k个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵。

5) 将数据转换到k个特征向量构建的新空间中。
 

线性空间：

线性变换：

非线性变换：

1. 行向量 vs 列向量

    表示区别：行向量用逗号 , 隔开；

                     列向量用省略号…

2. 向量的数乘的几何意义：拉伸

3. 向量的內积的几何意义：

    內积=点积=数乘积

4. 向量范数的三个性质：正定、齐次、不等式

5. 0范数是伪范数；违反齐次原则

6. 线性相关 vs 线性无关

如果信号向量是线性相关的，则可以去掉向量的一个分量。

线性无关：a不能线性表示b

7. 线性无关刻画信息无冗余。正交化则是线性无关最好的方式。

1. 矩阵的幂

(AB)^k != A^k B^k

k=2; 显然，ABAB != AABB，因为AB!=BA

【矩阵乘法不符合交换律；特例：逆矩阵】

2.矩阵的行列式

sum -1^(N(j1j2...jn)) x a_1j a_2j...a_nj

N(xxx)表示逆序数

1. 符号表示

R:实数

C:复数

2. 內积

內积：•[R^ n ；(a，b)= a ^T b ] ,

3. 线性变换

线性变换一定有矩阵表示的变换矩阵。

Y=AX

4. 行列式是针对方阵的。

从一部分带标签的样本学习得到结果预测新样本标签

向量的内积相当于投影

向量范数常用有三种

1.1范数  向量各个分量绝对值加起来

2.2范数  欧式距离

3.无穷范数 绝对值最大的分量的绝对值

施密特正交化：将线性无关向量组转换为正交向量组

向量组的极大无关组可能不止一个，但他们的向量个数是相同的

矩阵的范数是针对方阵

矩阵的常用范数同样有3种：

1.1范数为矩阵列向量的1范数的最大值，也被成为矩阵的列范数

2.2范数为根号下A(转置)A的最大特征值，也成为谱范数

3.无穷范数为矩阵行向量的1范数的最大值，也被成为矩阵的行范数