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机器学习 基础入门
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这一节课的概念很多,整理一下:

非退化双线性型

非退化矩阵(non-degenerate matrix)又称“非异矩阵(non-singular matrix) ”、“满秩矩阵”,若n阶矩阵A的行列式|A|≠0,则称A为一个非退化矩阵,若|A|=0,则称A为“退化矩阵”,也称“奇异矩阵”、“降秩矩阵”。n阶方阵A是非退化的充要条件为A是可逆矩阵

双线性型指的是一个二元函数f(x,y)对x,y分别是线性的,即

f(x1+x2,y)=f(x1,y)+f(x2,y)
f(kx,y)=kf(x,y);
f(x,y1+y2)=f(x,y1)+f(x,y2)
f(x,ky)=kf(x,y)

 

合同、等价、相似

1、等价,相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价,反之不一定成立。

3、矩阵等价,只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换,也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似,则存在可逆矩阵P使得,P^(-1)AP=B。

5、矩阵合同,则存在可逆矩阵P使得,P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时,即P^T=P^(-1),则有A,B之间既满足相似,又满足合同关系。

7、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件,相似、合同、等价是等秩的充分条件。

8、矩阵等价是相似、合同的必要条件,相似、合同是等价的充分条件。  

9、 矩阵相似、合同之间没有充要关系,存在相似但不合同的矩阵,也存在合同但不相似的矩阵。 

10、总结起来就是:相似=>等价,合同=>等价,等价=>等秩。

 

正惯性指标

线性代数里矩阵的正的特征值个数,也即是规范型里的系数"1"的个数

 

二次型的标准型和规范型

标准型就是只含平方项的二次型叫标准型,但标准型不唯一。当把标准型前面的正系数变成正1,负系数变成-1.就是规范型。具有唯一性。

 

正定

对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特征值都是正数

 

矩阵的微分技巧

利用矩阵的内积来计算矩阵的微分

 

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授课教师

广东财经大学特聘教授;香港城市大学数学系博士
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