机器学习必修之数学基础系列课程

一、矩阵运算于图像处理：

0、像素取值范围是[0, 255]；

1、矩阵加法，增幅较小，易使像素值大于等于255，因此在图像上即表现为白色噪声；

2、同理，矩阵相乘，增幅是成倍数的，因此易使像素取值集中到0或255，也就呈现出黑白相间的条纹状；

二、矩阵运算

1、AB≠BA

2、方阵的幂

1、向量是带方向的标量，所以它的一个自然属性就是有序。

关于这一点，可以联系排列组合的概念理解：

（1）所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

（2）组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

因此，关于向量相等的条件也就很清楚了，必须得一一相等。

2、向量内积（点乘，数量积）

（1）计算结果是一个数值。

（2）引入的素材是物理中的做功，功表示能量，其大小是数值。因此内积的结果也是数值。

（3）向量内积可用来判断两个向量是否正交（相互垂直）

3、向量范数

（1）之所以称为范数而不是长度，是因为生活中不同的应用场景所对应的“规则”不同， 称谓也不同，因此以“范数”来广泛定义。可与张量的概念相类比。

（2）0范数不是范数，因为它违反了向量范数定义的第2个条件——齐次性。

4、线性相关与线性无关

（1）向量组的秩

（2）极大无关组

5、由向量引出矩阵的概念

5.1 矩阵范数

6、作业

进入到凸优化，难度比以前加强了，主要是概念和定理比较多，比较抽象化，需要结合画图和例题来进行梳理。

1可行下降方向：

若可行方向

  

满足

  

，则称d为约束优化问题(1)在x点的可行下降方向。

 2.起作用约束(active constraint)

亦称紧约束或积极约束，是指在某可行点处使不等式约束成为等式的约束。对于可行点x'，当gi(x')=0时点x'处于这个约束形成的可行域的边界上，起到了限制作用，故称这一约束为点x'处的起作用约束，等式约束对所有可行点都是起作用约束。

3. 拉格朗日乘子

基本的拉格朗日乘子法(又称为拉格朗日乘数法)，就是求函数 f(x1,x2,...) 在 g(x1,x2,...)=0 的约束条件下的极值的方法。其主要思想是引入一个新的参数 λ （即拉格朗日乘子），将约束条件函数与原函数联系到一起，使能配成与变量数量相等的等式方程，从而求出得到原函数极值的各个变量的解

4.KKT条件

min.:f(x) 
s.t.:gi(x)≤0,i=1,2,…,p, 
hj(x)=0,k=1,2,…,q, 
x∈Ω⊂Rn 
KKT条件是指在满足一些有规则的条件下, 一个非线性规划(Nonlinear Programming)问题能有最优化解法的一个必要和充分条件. 这是一个广义化拉格朗日乘数的成果. 一般地, 一个最优化数学模型的列标准形式参考开头的式子, 所谓 Karush-Kuhn-Tucker 最优化条件，就是指上式的最优点x∗必须满足下面的条件: 
 - 1. 约束条件满足gi(x∗)≤0,i=1,2,…,p, 以及,hj(x∗)=0,j=1,2,…,q 
 - 2. ∇f(x∗)+∑i=1pμi∇gi(x∗)+∑j=1qλj∇hj(x∗)=0, 其中∇为梯度算子; 
 - 3. λj≠0且不等式约束条件满足μi≥0,μigi(x∗)=0,i=1,2,…,p

更多概念参考：https://blog.csdn.net/weixin_37352167/article/details/84675233

1.方向导数与梯度

 方向导数是数值，表示某个方向上的导数

 梯度为矢量，梯度方向上唯一存在最大的方向导数，梯度定义：

2.二元函数的极值判断：

设：二元函数 f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²B=∂²f(x0,y0)/∂x∂yC=∂²f(x0,y0)/∂y²∆=AC-B²

如果：∆>0 A0,f(x0,y0) 为极小值；如果：∆0f(0,0)=0 为最小值。

求解函数极值方法：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

3.多元泰勒展开式：

凸优化的第一课，概念内容比较多。

主要包括：凸集，超平面，半空间，锥，凸锥，射线，顶点，多面集，极点，极方向。参考老师给出的《最优化理论预算法》，具体概念和实例